Учителю

Задания районной олимпиады по математике, 6 класс, 2014 г.

1.  Даны числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Расставьте их так, чтобы сумма их на каждой стороне треугольника (см. рис.1) была равна 20.   (2б)

Решение.

2. Как, пользуясь банками в 3 л и 5 л, набрать воды ровно 1 л? (3б)

Решение:

Сосуды	Переливания
5 литров	-	3	3	5
3 литра	3	-	3	1

3.  В квартирах № 1, № 2, № 3 жили три котенка: белый, черный и рыжий. В квартирах № 1 и № 2 жил не черный котенок. Белый жил не в квартире № 1. В какой квартире жил каждый котенок? (4 б)

Решение. Так как в квартирах № 1 и № 2 жил не черный котенок, то черный котенок жил в квартире № 3. Так как белый котенок жил не в квартире № 1, а квартира № 3 занята черным котенком, то белый живет в квартире № 2. Тогда рыжий котенок живет в квартире № 1.

4. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

а) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двухзначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

б) первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?   (6б)

Решение. Так как после зачёркивания получается наибольшее число с суммой цифр, равной 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4.

Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получится число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года.

Ответ: В квартире № 1 – рыжий котенок, в квартире № 2 – белый котенок, в квартире № 3 – черный котенок.

5.          Длина отрезка АВ равна 4. На отрезке взяты точки С и О так, что АС:СО=1:2, СО:ОВ=2:3. Найдите длину отрезка СО.  (8б.)

Решение. Так как АС:СО=1:2, то отрезок АС – одна часть, отрезок СО – 2 части. Так как СО:ОВ=2:3, то отрезок СО - 2 части, отрезок ОВ – 3 части. Значит, отрезок АВ разбит на 1+2+3=6 (частей), длина каждой равна 4/6=2/3. Поскольку на отрезок СО приходится 2 части, то СО=2*2/3=4/3.

6. В городской олимпиаде по математике приняли участие 120 шестиклассников. Каждому из участников было предложено для решения 5 задач. После проверки работ выяснилось, что 1/3 всех участников решила по одной задаче, 1/4 всех участников – по две задачи, 1/5 всех участников -  по три задачи

Общее количество решённых задач 277. Определите, был ли такой участник олимпиады, который решил все пять задач, если известно, что каждый участник решил их целое число. (10б.)

Решение. Да, был.

Из условия следует, что 40 человек решили по одной задаче, 30 – по две, 24 – по три. Таким образом эти 94 человека решили 40*1 + 30*2 + 24*3 = 40+60+72=172 задачи.

Если бы каждый из оставшихся 26 человек решил не более четырёх задач, то общее кол-во решённых задач было бы не более 276=172+4*26, а так как общее кол-во задач 277, то, следовательно, по крайней мере, один участник решил все пять задач.(Принцип Дирихле).

Задания районной олимпиады  по  математике, 7  класс

/апрель 2014/

1. Вычислите:

2.  Упростите выражение   

3. Существуют ли действительные числа a, b, c, для которых выполняются равенства a + b + c =5, ab + bc + ac = 13?

4. Петя и Вася договорились встретиться в 17.00. Люди они точные. Но у Пети часы спешат на 10 минут, а он думает, что они отстают на 5 минут. У Васи часы отстают на 15 минут, а он думает, что они спешат на 5 минут. Кто из ребят придет на встречу первым, и сколько времени он будет ждать товарища?

5. Ваня и Петя стреляли по мишеням, причем Петя сделал выстрелов на 15% больше, чем Ваня, но у Вани процент попадания на 6 больше (Петя попал а% от числа всех выстрелов, а Ваня – (а + 6)%). Оказалось, что они поразили одинаковое число мишеней. Сколько процентов Ваниных выстрелов попало в цель?

6. Треугольник АВС прямоугольный,  АВ – его гипотенуза. На прямой АВ по обе стороны от гипотенузы вне ее отложены отрезки  АК = АС  и  ВМ = ВС. Найдите угол КСМ.